Доказательство формулы суммы кубов

В математике существует важная формула для суммы кубов первых n натуральных чисел. Рассмотрим ее доказательство различными методами.

Формулировка теоремы

Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел:

Доказательство методом математической индукции

1. База индукции:

   При n = 1: 1³ = 1² = 1 - верно

2. Индукционное предположение:

   Предположим, что формула верна для n = k:

   1³ + 2³ + ... + k³ = (k(k+1)/2)²

3. Индукционный переход:

   Докажем для n = k+1:

   1³ + ... + k³ + (k+1)³ = (k(k+1)/2)² + (k+1)³

   = (k+1)²(k²/4 + (k+1)) = (k+1)²(k²+4k+4)/4

   = ((k+1)(k+2)/2)² - что соответствует формуле

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим квадратную таблицу размером (1+2+...+n)×(1+2+...+n):

• Общая площадь квадрата: (n(n+1)/2)²
• Разобьем его на прямоугольники:
  • 1 квадрат 1×1
  • 2 квадрата 2×2
  • ...
  • n квадратов n×n
• Сумма площадей этих прямоугольников дает 1³ + 2³ + ... + n³

Пример для конкретных значений

Применение формулы

Эта формула находит применение в:

• Теории чисел
• Комбинаторике
• Вычислительной математике
• Физике при расчетах объемов

Таким образом, мы рассмотрели строгое доказательство формулы суммы кубов натуральных чисел и убедились в ее справедливости.